ارسالها: 489
#21
Posted: 13 Mar 2013 15:07
ثابت kaperkar
یک عدد چهار رقمی در نظر بگیرید . با این شرط که همه ی ارقام آن مثل هم نباشند . حالا بزرگترین و کوچکترین اعدادی را که می توان با ارقام این عدد ساخت در نظر می گیریم و آن ها را از هم کم می کنیم . همین عملیات را دوباره روی عدد حاصل انجام می دهیم در نهایت به عدد ثابت کاپرکار یعنی عدد 6174 می رسیم .
به عنوان مثال عدد 8028 را در نظر بگیرید .
8532 = 0288- 8820 و 6174 = 2358- 8532 و 6174 = 1467- 7641 .
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ارسالها: 489
#22
Posted: 17 Mar 2013 19:02
پارادکس راسل
(Russell Bertrand)
لرد برتراند آرتور ویلیام راسل فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی(1872-1970) است که از جمله افراد روشنفکر و متفکر عصر خود بود. او برای جلوگیری از آزار زنان و حق تحصیل آنها مبارزات زیادی انجام داده است. همچنین او برنده جایزه نوبل در ادبیات شده است و یک ریاضیدان برجسته بود.او معتقد بود ریاضیات از منطق قابل تفکیک نمی باشد و به این دلیل فکر مدرسه منطق را بنیان گذاشت.
او به همراه آلفرد وایتهد تلاش کرد سیستمی را در منطق ابداع کند که ریاضیات مبتنی بر آن باشد. نتیجه این تلاش کتابی به عنوان Principal Mathematics در سه جلد شد. اگر چه بعدها گودل نشان داد که چنین تلاشهایی محکوم به فنا است و چنین سیستمهای منطقی کار آمد نخواهند بود.
نامه ای که راسل به همکار خود فرگه فرستاده است بسیار مشهور است او این نامه را در بهار سال 1901 هنگامی که فرگه روی اثر خود یعنی اصول ریاضیات کار می کرد فرستاد که در آن نامه پارادکسی را مطرح کرد که بعدها به نام پارادکس راسل شناخته شد و میتوان گفت از مشهور ترین پارادکس های تاریخ ریاضیات است. پارادوکس او چنین بود: آیا مجموعه همه مجموعه هایی که عضو خودشان نمی باشند عضوی از خودش است یا نه؟!
به عبارت دیگر مجموعه‌ی R را مشتمل بر همه‌ی مجموعه‌هائی در نظر بگیرید که عضو خودشان نیستند.یعنی:
حال آیا R عضوی از خودش است یا خیر؟
1-اگر R عضوی از خودش باشد، پس واجد شرایط اعضای R است، یعنی عضو خودش نیست!
2-اگر R عضوی از خودش نباشد، پس واجد شرایط اعضای R نیست، یعنی عضو خودش است!!
اینجا نیز روشن نیست که در نهایت این مجموعه (یعنی R) عضو خودش هست یا خیر؟
صورتهای گوناگونی از این پارادکس وجود دارد به عنوان مثال یک شکل ساده آن به این صورت است:
«فرض کنید که در یک شهر آرایشگری وجود دارد که فقط و فقط سر کسانی را اصلاح می‌کند که خودشان سر خود را اصلاح نمی‌کنند، به علاوه هر کسی که خودش سر خود را اصلاح نمی‌کند، سرش را پیش این آرایشگر اصلاح می‌کند! حال به عقیده‌ی شما این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح می کند یا خیر؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است:
اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح نکند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را خود اصلاح نمی‌کنند قرار دارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح می‌کند!
اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح کند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را اصلاح نمی کنند قرار ندارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح نمی کند!
و در حقیقت روشن نیست که در نهایت این آرایشگر با سر خود چه می‌کند! اصلاحش می کند یا خیر؟
شاید بتوان گفت این پارادکس مشهور ترین پارادکس تاریخ ریاضیات است. این پارادکس منجر به تحولات بسیار زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه (ریاضی و غیر آن) شد. یکی از مهمترین این تحولات تغییر نگرش ریاضی‌دانان نسبت به مفهموم مجموعه بود، چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادکس، تعریف ناسازگاری است، که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضی‌دانان وجود دارد.
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ارسالها: 489
#23
Posted: 17 Mar 2013 19:14
کشف بزرگترین عدد اول مرسن (48 امین عدد)
در رياضیات عدد اول مرسی فرمی خاص از عدد اول است که برای اولین‌بار یک راهب فرانسوی به نام مارین مرسن در قرن 17 میلادی آنها را مطالعه می‌کرده است. در ابتدا دانشمندان تصور می کردند که اعداد به صورت برای تمام اعداد اول نیز عدد اول است، ولی در سال1536 فردی به نامHudalricus نشان داد عدد=2047 211-1که عدد یک نقض از این موضوع است که عدد اول نمی باشد.
سال 1603 فردی به نام Pietro Cataldi ادعا کرد که دو عدد1-217 وعدد1-219 عداد اول هستند، ولی بعد از آن به اشتباه اعداد را برای عدد n=23,29,31,37 و ( n < 258) نیز اول اعلام کرد.
در سال 1640 فرما نشان داد که این اعداد برای مورد 23 و 37 اول نیست و پس از آن اویلر در سال 1738 نشان داد که حتی این اعداد برای 29 هم اول نبوده است. چندی بعد اویلر نشان داد ادعای فقط برای عدد 31 اول بوده است. بعدها در سال های 1648-1588 یک راهب فرانسوی یه نام مارین مرسن اظهار داشت که عدد 1-2n برای مقادیر
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 and 257
واضح بود که وی نمی‌تواند همه این اعداد را تست کند. سال ها بعد یعنی سال 1750 نشان داد که برای 31 این عدد اول است. قرن بعد یعنی 1876 لوکاس نشان داد که این عدد برای 127 نیز اول است. 7 سال بعد Pervouchine به عدد اول برای 61 رسید. یعنی مرسن این عدد را از دست داده بود. در سال 1990 پاور نشان داد که مرسن اعداد 89 و 107 را نیز از دست داده است. در نهایت در سال 1947 اعداد پیشنهاد شده مرسن تصحیح شد. یعنی اعداد بصورت زیر هستند.
5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 and 127. ,2,3
برای اطلاعات بیشتر در این زمینه اینجا را کلیک کنید.
در 25 ژانویه 2013 با کار پر تلاش GIMPتوسط دکتر کورتیس کوپر، 48 امین عدد اول مرسن کشف شد. این عدد1-257885161 است که عددی 17425170 رقمی است. عدد قبل از آن عدد1-243112609 است که رقم 12978189دارد و در سال 2008 توسط اسمیت ولتمن کشف شد.
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ارسالها: 489
#24
Posted: 23 Mar 2013 21:39
کارت جادویی
معماي كارت هاي جادويي
شعبده بازی 5 کارت جادویی را به شما نشان می دهد و از شما می خواهد که کارت هایی را انتخاب کنید که روز تولدتان در آن ها ...
شعبده بازی 5 کارت جادویی را به شما نشان می دهد و از شما می خواهد که کارت هایی را انتخاب کنید که روز تولدتان در آن ها وجود داشته باشد.سپس او به شما روز تولدتان را می گوید!!!
او برای این کار عدد های واقع در گوشه ی سمت راست بالایی کارت های انتخاب شده را با هم جمع می کند.این مجموع روز تولد شماست.
معمای این مساله زمانی حل می شود که عددهای هر یک از كارت ها را درمبنای 2 بنویسيم .
عددهای کارت 0 آن هایی هستند که وقتی در مبنای 2 نوشته می شوند،رقم یکانشان عدد "1"است.عددهای کارت 1 آن هایی هستند که وقتی در مبنای 2 نوشته می شوند،رقم دوگانشان عدد"1"است.(منظور از رقم دوگان،رقم دوم از سمت راست در عدد نویسی درمبنای 2است.)عددهای کارت 2 آن هایی هستند که وقتی در مبنای 2 نوشته می شوند،رقم چهارگانشان عدد"1"است.(رقم چهارگان،رقم سوم از سمت راست در عدد نويسي در مبنای 2 است.)درحالت کلی،عددهای کارت kام،آن هایی هستند که در محل ام نمایش آن ها در مبنای 2، عدد "1"وجود دارد.برای مثال عدد 25 را در نظر بگیرید.این عدد در مبنای 2 به صورت 11001 نوشته می شود.از آن جا که در محل های ام نمایش این عدد در مبنای 2،"1" وجود دارد،بنابراین 25 در کارت های 0و3و4 ظاهر می شود.
اکنون عددهای واقع در گوشه ی سمت راست بالا در هر کارت را در نظر بگیرید.در کارت 0،این عدد برابر 1 است که در مبنای 2 به همان صورت 1 نوشته می شود.در کارت 1،عدد مورد نظر 2 ونمایش این عدد در مبنای 2 به شکل 10 است.در سومی عدد 8 را داریم که در مبنای 2 به صورت 1000 نوشته می شود و الی آخر.در حالت کلی عدد واقع در گوشه ی سمت راست بالا در کارتk ام،عدد است که نمایش آن در مبنای 2 به شکل0 ....100است که در آنk صفر متوالی داریم و به دنبال آن ها عدد 1 در محل ام قرار می گیرد.
حال می پرسیم که چگونه می شود 25 را به کمک این کارت ها مشخص کرد؟! همان طور که گفتیم نمایش 25 در مبنای 2 به صورت 11001 است.چون 25 در کارت های 0و3و4 ظاهر شده است،عددهای گوشه های سمت راست بالای این کارت ها یعنی16,8,1انتخاب می شوند.در این صورت داریم:
25=16+8+1 :در مبنای 10
11001=10000+1000+1 :در مبنای 2
مثال:
فرض كنيد كه تاريخ تولد شما دوازدهمين روز ماه باشد.در اين صورت شما كارت هاي 2و3 را انتخاب مي كنيد،زيرا اين ها تنها كارت هايي هستند كه عدد 12 را در بر دارند.حال اگر عدد هاي واقع درگوشه ي سمت راست بالايي كارت هاي 2و3 را باهم جمع كنيم ،خواهيم داشت: 12=8+4 .
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ویرایش شده توسط: behnaz1989
ارسالها: 297
#25
Posted: 23 Mar 2013 21:57
روش هاي آسان و کاربردي براي محاسبات روزمره
در اين مقاله به ارائه روش هاي محاسباتي پرداخته شده که براي انجام عمليات جبري و محاسباتي کاربرد وسيعي دارند. از آنجا که روش هاي ذکر شده در اين مقاله پر تعداد هستند پيشنهاد مي شود ابتدا يک روش آن را طي چند روز به کار گيريد تا اين روش در حافظه ثبت شود و در ضمير ناخودآگاه قرار گيرد و سپس به سراغ روش هاي ديگر برود..
بسياري از ما با ساده کردن عبارت هاي جبري آشنايي داريم و از اين روش ها به وفور استفاده مي کنيم، اما اغلب هيچ کوششي براي آسان کردن محاسبه هاي عددي نمي کنيم و به صورت کاملاً خطي با آنها مواجه مي شويم و به همان صورتي که به ما ارائه مي شود آنها را حل مي کنيم. قدم نخست در تسهيل و تسريع محاسبه ها، تبديل آنها به محاسباتي ساده تر است. مثلاً، هر چند ضرب يا تقسيم يک عدد بر 4 بسيار ساده است و اغلب ما قادر هستيم اين عمل را در ذهن انجام دهيم، اما از آن ساده تر اين است که همان عدد را دوبار در 2 ضرب يا تقسيم کنيم، همين کار را براي عدد 8 نيز مي توانيم انجام دهيم. يعني سه بار در 2 ضرب يا تقسيم کنيم. اما اين کار براي عدد 16 مناسب نيست زيرا نگه داشتن حساب چهار بار تقسيم و ضرب در عدد 2 ممکن است خود سبب اشتباه شود. البته براي اين محاسبه هم روش هايي هست که در جاي خود به آن مي پردازيم.
براي ضرب 4 دو بار در 2 ضرب کن:
136 =2×68 =2×2×34=4×34
براي تقسيم بر 4 دو بار بر 2 تقسيم کن:
18 =2÷36 =3÷2÷72 =4÷72
براي ضرب در 8 سه بار در 2 ضرب کن:
128 =2×64 =2×2×32 =2×2×2×16 =8×16
براي تقسيم بر 8 سه بار بر 2 تقسيم کن:
13 =2÷26 =2÷2÷52 =2÷2÷2÷104 =8÷104
آن چه در اينجا بايد تذکر دهم اين است که اين دستور و ساير دستورها براي ساده کردن محاسبه ها است و اگر در جايي احساس کرديد محاسبه قدري برايتان دشوار است، بهتر خواهد بود که از روش هاي ديگري که برايتان خواهم گفت استفاده کنيد تا سرعت محاسبه شما به اندازه کافي بالا برود. حال محاسبه هاي زير را انجام دهيد.
؟ =4×79
؟ =8×32
؟ =4×67
؟ =4×34
؟ =4×44
؟ =69×4
داستان 5
اولين مطلب، ضرب عددهاي مختلف در عدد 5 است. فرض کنيد مي خواهيد عدد 688 را در 5 ضرب کنيد البته اين عمل را شما به آساني (يا به سختي!) در ذهن انجام مي دهيد. اما براي اين عمل راه ساده تري هم وجود دارد (البته اگر بپذيريم که عمليات با عددهاي کوچک تر ساده تر از عددهاي بزرگ تر است) و آن اين است که بياييم عدد 688 را بر 2 تقسيم و يا به عبارتي نصف کنيم، سپس صفري در مقابل قرار دهيم يعني:.
3440 ={0}2÷688 =5×688
در اين جا عدد 688 را بر 2 تقسيم کرديم و يک صفر در مقابل آن قرار داديم. به همين راحتي! اين دستور به خصوص در مورد عددهاي زوج کارايي بيشتري دارد زيرا شما خيلي راحت قادريد نصف هر عدد زوجي را بگوييد.
بنابراين:
براي ضرب هر عددي در 5، عدد را بر 2 تقسيم کن و يک صفر مقابل آن بگذار.
آن چه در اين جا بايد بگويم اين است که وقتي عددهاي فرد را نصف مي کنيم، عدد به دست آمده يک رقم به اعشار مي رود. بنابراين از گذاشتن صفر و مميزي اعشار در اين گونه عددها خودداري مي کنيم. مثلاً فرض کنيد عدد 27 را در 5 ضرب کنيم، در اين حالت نصف 27 عدد 13/5 مي شود که بايد از مميز و صفر صرف نظر کرده و عدد 135 را به عنوان جواب بنويسيم. حال نوبت شماست که چند نمونه را به صورت ذهني حل کنيد:
؟ =5×257
؟ =5×462
؟ =5×888
؟ =5×144
؟= 5×48
حال فرض کنيد مي خواهيد 212 را بر 5 تقسيم کنيد با توجه به آن چه گفته شد حدس مي زنيد چه بايد کرد بله درست حدس زديد اين بار اين عدد را در 2 ضرب کنيم و يک رقم به اعشار برويم يعني:
42/4={/}2×212 =5÷212
بنابراين:
براي تقسيم هر عدد بر 5 آن عدد را 2 ضرب کن و يک رقم به اعشار برو.
سعي کنيد تمرين هاي زير را به روش گفته شده انجام دهيد:
؟ =5÷237
؟ =5÷412
؟ =5÷93
؟ =5÷436
؟ =5÷132
ضرب و تقسيم عددها در 25
حال که داريم راجع به 5 صحبت مي کنيم، بايد دستوري که در مورد 25 وجود دارد را نيز در اينجا بگوييم؛ چون يکان 25، عدد 5 است و بي ارتباط با داستان 5 نيست. اين دستور هر چند خيلي ساده است، اما کارايي زيادي دارد، زيرا اين عدد درصد بسياري از کالاها را نشان مي دهد و مي تواند براي کساني که با آن سر و کار دارند خيلي مفيد واقع شود. در ضمن با يک نگاه اجمالي به مسائل مي بينيد که اين عدد کاربرد فراواني دارد.
حال فرض کنيد به عنوان مثال مي خواهيد عدد 444 را در عدد 25 ضرب کنيد براي اين کار کافي است اين عدد را بر 4 تقسيم کنيد و دو صفر مقابل آن بگذاريد يعني:
111000={00}4÷444+25×444
براي عددهايي که مي بينيد تقسيم بر 4 قدري زمان بر است و نياز به فکر دارد، دو بار عدد مورد نظر را بر 2 تقسيم کنيد. مثلاً 375 را اگر بخواهيم در 25 ضرب کنيم، ابتدا يک بار بر 2 تقسيم کنيد و عدد 187/5 را به دست آوريد و سپس يک بار ديگر اين عدد را نصف کرده و به عدد 93/75 مي رسيم و چون دو رقم به اعشار رفته ايم هم از مميزها و هم از دو صفر صرف نظر کرده و جواب 9375 خواهد شد.
بنابراين:
براي ضرب در 25 دو بار بر 2 تقسيم کن و دو صفر مقابلش بگذار.
حال تمرين هاي بعد را براي تسلط بيشتر انجام دهيد:
؟ =25×18
؟ =25×47
؟ =25×25
؟ =25×24
؟ =25×88
حال برويم به سراغ تقسيم اعداد بر 25:
براي تقسيم بر 25 دو بار در 2 ضرب کن و دو رقم به اعشار برو.
مثلاً اگر بخواهيم عدد 19 را بر 25 تقسيم کنيم دو بار بايد 19 را در 2 ضرب کنيم که در بار اول مي شود 38 و بار دوم 76 و سرانجام دو رقم بايد به اعشار برويم که جواب نهايي ما 0/76 خواهد شد.
حالا نوبت شماست که تمرين کنيد:
؟ =25÷71
؟ =25÷53
؟ =25÷23
؟ =25÷92
؟ =25÷14
؟ =25÷17
حال که بحث به اين جا کشيده شده، بد نيست بدانيد عين همين مرحله ها را در مورد عدد 125 نيز با تغييرات جزيي مي توان انجام داد. ترتيب کار به اين صورت است که مثلاً بخواهيم عدد 48 را در عدد 125 ضرب کنيم کافي است که اين عدد را بر 8 تقسيم کنيم و سه صفر مقابل آن بگذاريم که عدد 6000 پاسخ اين ضرب خواهد شد يعني:
6000 ={000} 6 ={000} 8÷48 =125×48
پس دستور کلي ما چنين خواهد بود:
براي ضرب در 125 سه بار بر 2 تقسيم کن و سه صفر مقابل آن بگذار.
براي تقسيم عددي مثل 11 بر عدد 125 بايد اين عدد را در 8 ضرب کنيم (يا سه بار در 2 ضرب کنيم) و سپس رقم به اعشار برويم که حاصل آن 88 است.
پس:
براي تقسيم بر 125 سه بار در 2 ضرب کن و سه رقم به اعشار برو.
حال تمرين هاي زير را انجام دهيد:
؟ =125÷7
؟ =125×56
؟ =125÷36
؟ =125×32
مجذور کردن عددهايي که يکان آنها 5 است
در اينجا مي خواهيم روش مجذور کردن عددهايي مثل 25 يا 75 يا 115 که رقم يکان آنها عدد 5 است را توضيح دهيم. اين کار ساده تر از آن است که فکرش را مي کنيد. مثلاً به عدد 25 توجه کنيد. چنان چه مي بينيم عدد بعد از يکان آن 2 است، اگر اين عدد را در اولين عدد صحيح بعد از خودش يعني 3 ضرب کنيد و عدد 25 را سمت راست عدد به دست آمده بگذاريد عدد 625 مي شود و اين عدد مجذور عدد 25 خواهد بود. با توجه به آن چه گفته شد، مجذور 75 را هم مي توان به سادگي به دست آورد. عدد بعد از يکان در اين جا 7 است که در عدد ما بعد خود يعني 8 ضرب مي شود و زماني که عدد 25 را کنار اين حاصل ضرب بگذاريم، عدد 5625 را خواهيم داشت که مجذور 75 است. اگر عدد مورد نظر ما عددي سه رقمي مثل 115 بود باز هم مي توان از اين روش استفاده کرد. يعني 11 را که عدد بعد از رقم يکان است در عدد ما بعد خود يعني 12 ضرب مي کنيم و 25 را سمت راست اين حاصل ضرب مي نويسيم که 13225 خواهد شد. البته ضرب سريع 11 در عددهاي مختلف را هم بعداً در جاي خودش برايتان خواهم گفت.
مجذور کردن عددهايي که دهگان آنها 5 است
فرض کنيد مي خواهيد عدد 57 را به توان 2 برسانيد. در اين حالت مجذور يکان يعني عدد 7 را که به دست آورديم، يکان و دهگان جواب خواهد شد که در اين جا 49 مي شود از اين مرحله عدد 25 را با يکان عدد مورد بحث که در اين جا همان 7 است، جمع مي کنيم و عددي که به دست مي آوريم را به عنوان صدگان و هزارگان جواب قرار مي دهيم. (يعني 32+25+7) و در نتيجه جواب نهايي 3249 خواهد شد.
در اينجا بد نيست مطلبي را تذکر دهم. همان طور که مي دانيد، مجذور 50 عدد 2500 است. بنابراين هيچ عدد دو رقمي که دهگان آن 5 باشد وجود ندارد که کوچک تر از اين عدد باشد پس وقتي در مورد عددي مثل 52 يکان را به توان 2 رسانديم حاصل را که عدد 4 است به صورت 04 نوشته و در جاي يکان و دهگان مي نويسيم و بقيه کارها را به همان ترتيب انجام دهيم يعني:
2704+22 بتوان 2+25 =52 بتوان 2
2704+52 بتوان 2
اين روش را هم با قدري تأمل مي توانيد براي عددهاي سه رقمي به کار ببريد.
ضرب عددهاي مختلف در عدد 15
عدد مورد نظر را با نصف خودش جمع کن و صفري سمت راستش بگذار.
فرض کنيد مي خواهيد عدد 34 را در 15 ضرب کنيد. اگر نصف 34 را که 17 مي شود با 34 جمع کنيد 51 خواهد شد و اگر صفري سمت راست آن بگذاريد 510 مي شود که حاصل ضرب 15 در 34 است اگر عددي که در 15 ضرب مي شود فرد باشد مثل عدد 23 نصف آن يعني 11/5 را با خودش جمع کرديم يعني 34/5 =11/5+23 از مميز حاصل جمع صرف نظر کرده و صفري هم مقابل آن نمي گذاريم. بنابراين پاسخ در اينجا 345 مي شود. حال شما با اين روش ضرب هاي زير را انجام دهيد:
؟ =33×15
؟ =48×15
؟ =56×15
؟ =88×15
ضرب عددهاي مختلف در عدد 75
دو بار بر دو تقسيم کن، در 3 ضرب کن و دو صفر سمت راستش بگذار.
فرض کنيد مي خواهيم 16 را در 75 ضرب کنيم. اگر 16 را دو بار بر 2 تقسيم کنيم 4 خواهد شد و اگر 4 را در 3 ضرب کنيم 12 مي شود و سرانجام اگر دو صفر سمت راست 12 بگذاريم. حاصل ضرب را که عدد 1200 خواهد شد به دست آورده ايم. در اينجا هم در مورد عددهاي فرد که به اعشار مي رويم، به تعداد رقم هاي اعشاري از صفرها کم مي کنيم. مثلاً اگر عدد 13 در 75 ضرب شود، وقتي 13 را دو بار بر 2 تقسيم کنيم 3/25 خواهد شد و پس از آن که اين عدد در 3 ضرب شد به عدد 9/75 مي رسيم و با اعمال صفرها و مميزها عدد 975 را که جواب است، به دست آورده ايم.
سعي کنيد براي تسلط بيشتر بر موضوع، تمرين هاي زير را حل کنيد:
؟ =52×75
؟ =44×75
؟ =13×75
؟ =28×75
امتحان عمل ضرب
آن چه در اينجا مي خواهم براي شما بگويم، يک نوع امتحان عمل ضرب است که اگر در عمل ضرب اشتباه فاحش نباشد، آن را به خوبي نشان خواهد داد. در عين حال هم بسيار ساده است. روش کار به صورت زير است:
فرض کنيد مي خواهيم درستي ضرب 220= 25×89 را بررسي کنيم.
ابتدا رقم هاي هر يک از عامل هاي ضرب را با هم جمع مي کنيم.
7 =5+2 و 16 =8+8
اگر عددهاي به دست آمده دو رقمي شد باز هم رقم هايشان را با هم جمع مي کنيم تا به عددي يک رقمي برسيم يعني: 7 =6+1: 16
حالا عددهاي يک رقمي به دست آمده را در هم ضرب مي کنيم 49=7×7. اگر حاصل جمع رقم هاي اين حاصل ضرب با جمع رقم هاي جواب مورد بررسي يکسان شود، نشان دهنده آن است که ضرب را درست انجام داده ايم و در صورت مغايرت، نشان دهنده نادرست بودن حاصل ضرب است. يعني:
4 =0+2+2: 220
4 =3+1: 13 =4+9: 49
چنان چه مشاهده مي شود، دو عدد به دست آمده يکي شدند؛ پس ضرب را درست انجام داده ايم. نکته اي که سبب بالا رفتن بيشتر سرعت در اين روش امتحان ضرب وجود دارد، اين است که وقتي در جمع کردن عددها به عدد 9 مي رسيم مي توانيم به جاي آن عدد صفر را قرار دهيم. مثلاً در همين مثال اخير وقتي به عدد 49 رسيديم مي توانستيم به جاي جمع کردن 4 و 9 عدد 4 را با صفر جمع کنيم که در هر صورت نتيجه يکي مي شد.
اما بايد بگويم که اين روش امتحان، نقصي هم دارد و آن اين است که اشتباهات فاحش را نشان نمي دهد. مثلاً اگر ما جواب را 22، 4، و يا 490 هم به دست آورديم فرقي نمي کرد و در ظاهر اين محاسبه ما صحيح نشان داده مي شد، ولي از آن جا که معمولاً اشتباهاتي به اين بزرگي را مرتکب نمي شويم، اين روش مي تواند کارايي نسبتاً خوبي داشته باشد.
و بايد اين نکته را هم مذکر شوم که تنها نگراني ما در خصوص تعداد صفرهاي حاصل ضرب بايد باشد که اشتباه فاحش اما رايجي است که در اين روش، اشتباه مذکور آشکار نخواهد شد.
ضرب در عدد 11 و ...
در ادامه مقاله به ضرب عددها در 11 و ... مي پردازيم فرض کنيد عدد 342 را مي خواهيم در عدد 11 ضرب کنيم براي اين کار ابتدا صفري در هر طرف اين عدد قرار مي دهيم به اين صورت (03420)، سپس هر رقم را با رقم سمت راستش جمع مي کنيم تا حاصل ضرب به دست آيد.(به همين سادگي).
3762 =11×03420
سؤالي که در اين جا مطرح مي شود اين است که اگر حاصل جمع ها عددي دو رقمي شود چه وضعيتي پيش مي آيد؟ پاسخ بسيار ساده است؛ رقم دهگان را به جمع بعدي اضافه مي کنيم..
ضرب در عددهاي 12 و 13 و ... 19 با کمي تفاوت بسيار شبيه آن چيزي است که در مورد 11 گفته شد. مثلاً در مورد 12 پس از آن که صفرها را در دو طرف عدد گذاشتيم، هر رقم را 2 برابر کرده با عدد سمت راست خود جمع مي کنيم و يا در مورد عدد 13، ابتدا رقم ها را 3 برابر مي کنيم و سپس با عدد سمت راست جمع مي زنيم و به همين ترتيب به يکان 14 و 15 و ... و 19 توجه کرده رقم ها را 4 و 5 و ... و 9 برابر کرده با عدد سمت راست خود جمع مي کنيم.
بهتر است از اين شيوه در مورد عددهاي زير 15 استفاده شود چون نگه داشتن ذهني عددهاي بزرگ تر قدري دشوار است و از سرعت محاسبه شما مي کاهد. حالا ضرب هاي زير را انجام دهيد.
؟ =12×64
؟ =12×34
؟ =14×11
ضرب در عدد 9
اول از چيزي که همه خوب مي دانيم شروع مي کنيم مثلاً در ضرب 54= 6×9. اگر کمي دقت کنيد، متوجه مي شويد دهگان حاصل ضرب يعني 5 يک واحد از عدد 6 کمتر است و يکان آن حاصل تفاضل عدد 9 و 5 است. اگر به همه عددهاي يک رقمي که در 9 ضرب مي شوند دقت کنيد، متوجه مي شويد که اين قاعده همچنان برقرار است. حتماً با خود مي گوييد که حفظ کردن اين دستور براي چيزي که بلد هستيم عاقلانه نيست، ولي شايد اگر بدانيد اين دستور شامل عددهاي چند رقمي هم مي شود تجديدنظر کنيد. مثلاً اگر عددي دو رقمي مثل 68 و 99 (توجه داشته باشيد که تعداد رقم هاي هر دو عدد يکسان باشد) ضرب شود، دو رقم سمت چپ جواب يک واحد از 68 کمتر مي شود که 67 خواهد شد و دو رقم سمت راست حاصل تفاضل 67 از عدد 99 است که عدد 32 مي شود يعني در واقع حاصل ضرب 67 در 99 عدد 6732 خواهد شد. براي عددهاي سه رقمي سمت راست را از عدد 999 کم مي کنيم و رقم هاي سمت چپ پاسخ همواره يک واحد کمتر از عدد اصلي هستند.
تقسيم بر عدد 9 و ...
آن چه در مورد ضرب گفتيم به شکلي ساده تر در مورد تقسيم نيز وجود دارد.
اگر عددي يک رقمي را بر 9 تقسيم کنيم ديده مي شود در قسمت جوان آن عدد به شکل متناوب بعد از مميز تکرار مي شود اين موضوع در مورد عددهاي چند رقمي هم صدق مي کند، مشروط بر اين که تعداد رقم هاي مقسوم و مقسوم عليه يکسان باشد.
مثلاً: 0/639639639 =999÷639
و حالا سعي کنيد مثال هاي زير را به روش گفته شده در بالا حل کنيد
؟ =9999÷1739
؟ =99÷78
؟ =999÷546
ضرب يک هاي متوالي
الف)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان باشد:
براي ضرب دو عدد که از يک هاي متوالي تشکيل شده و تعداد رقم هايشان يکسان باشد از عدد يک شروع به نوشتن کرده به تعداد رقم هاي بالا مي رويم وقتي به بالاترين رقم رسيديم، شمارش را معکوس مي کنيم تا به يک برسيم. مثلاً فرض کنيد عدد 111 را مي خواهيد در عدد 111 ضرب کنيم. چون سه رقم دارند، شمارش به سمت بالا تا عدد 3 ادامه پيدا مي کند و سپس به سمت عدد 1 معکوس مي شوند يعني حاصلضرب عدد 12321 خواهد بود يا اگر هر دو عدد چهار رقمي باشند يعني 1111 پاسخ حاصل ضرب تا عدد 4 بالا رفته سپس معکوس مي شود يعني پاسخ عدد 1234321 خواهد بود.
ب)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان نيست:
در اين حالت شمارش به سمت بالا تا تعداد رقم هاي عدد کوچک تر پيش مي رود و در آنجا تا تعداد رقم هاي عدد بزرگ تر، بالاترين عدد تکرار مي شود و سپس به سمت عدد يک معکوس مي شود.
مثلاً فرض کنيد دو عدد 11 و 111 را مي خواهيد در هم ضرب کنيد در اين حالت عدد کوچک تر دو رقمي است پس شمارش به سمت بالا تا عدد 2 پيش مي رود يعني تا اين جا دو رقم سمت چپ جواب ما 12 است با توجه به اين که عدد بزرگ تر ما سه رقمي است، رقم 2 يک بار ديگر نوشته مي شود تا رقم هاي سمت چپ پاسخ ما با تعداد رقم هاي عدد بزرگ تر يکي شود.
[يعني رقم هاي سمت چپ جواب تا اين جا 122 مي شود] و بعد از اين مرحله شمارش معکوس به سمت 1را شروع مي کنيم و در نهايت کل رقم هاي جواب يعني 1221 را خواهيم داشت با توجه به آن چه گفته شد مثال هاي زير را حل کنيد.
؟ =11111×1111
؟ =1111×111
؟ =11111×11
ضرب دو عدد به وسيله ميانگين آنها
مجذور نصف تفاضل دو عدد را از مجذور ميانگين آنها کم کن.
مثلاً فرض کنيد دو عدد 19 و 21 را مي خواهيم به اين شيوه در هم ضرب کنيم.
همان طور که مي دانيد، ميانگين اين دو عدد 20 است؛ و مجذور عدد اخير 400. حالا تفاضل اين دو عدد را که عدد 2 مي شود نصف کرده به توان 2 مي رسانيم و از 400 کم مي کنيم و به عدد 399 که حاصل ضرب نهايي است مي رسيم.
هر چند اين دستور براي همه عددها قابليت اجرا دارد، اما در محاسبات سريع ما از اين دستور در دو زمان استفاده مي کنيم:
الف)زماني که ميانگين دو عدد، عددي مي شود که رقم هاي سمت راست آن صفر باشد (مانند مثال اخير).
ب)زماني که مجذور ميانگين دو عدد را به طريقي بدانيم (مانند روش هاي ارائه شده در مورد عددهايي مثل 35، 52 و ...). دستوري که گفته شد در ابتدا قدري به نظر دشوار است، اما اگر چند عدد را به اين شيوه در هم ضرب کنيد متوجه مي شويد که استفاده از آن چندان سخت نيست و کاربرد آن نيز طيف وسيعي از عددها را در بر مي گيرد.
حال تمرين هاي زير را انجام دهيد.
؟ =15×25
؟ =17×13
؟ =18×22
؟ =24×16
در انتها، مروري کلي داريم بر مطالب اين مقاله:
ــ براي ضرب در 4 دو بار در 2 ضرب کن.
ــ براي تقسيم بر 4 دو بار بر 2 تقسيم کن.
ــ براي ضرب در 8 سه بار بر 2 ضرب کن.
ــ براي تقسيم در 8 سه بار بر 2 تقسيم کن.
ــ براي ضرب هر عددي در 5، عدد را بر 2 تقسيم کن و يک صفر مقابل آن بگذار.
ــ براي تقسيم هر عدد بر 5 آن عدد را در 2 ضرب کن و يک رقم به اعشار برو.
ــ براي ضرب در 25 دو بار بر 2 تقسيم کن و دو صفر مقابلش بگذار.
ــ براي تقسيم بر 25 دو بار در 2 ضرب کن و دو رقم به اعشار برو.
ــ براي ضرب در 125 سه بار بر 2 تقسيم کن و سه صفر مقابل آن بگذار.
ــ براي تقسيم بر 125 سه بار در 2 ضرب کن و سه رقم به اعشار برو.
ــ براي ضرب در 15 با نصف خودش جمع کن و صفري سمت راستش بگذار.
ــ براي ضرب در 75 دو بار بر 2 تقسيم کن و در 3 ضرب کن و دو صفر سمت راستش بگذار.
ــ براي ضرب در 11 دو طرف عدد، صفر بگذار، هر رقم را با سمت راستش جمع کن.
براي ضرب از طريق ميانگين، مجذور نصف تفاضل دو عدد را از مجذور ميانگين آنها کم کن.
دیگر هیچ مزه ای دلچسب نخواهد بود...
من تمام حس چشاییم را...
روی لبانت...
جا گذاشته ام
ارسالها: 489
#26
Posted: 23 Mar 2013 22:01
بینهایت در رياضي به چه معناست ؟
infinite
بینهایت مفهومی است که در رشته‌های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً ∞نشانه بینهایت در ریاضیات است.
در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بی‌کران است. ∞ →x یعنی متغیر x فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.
در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته ايكس به سوي بي نهايت یعنی قدر متغیر مختلط x (که آن را با | x | نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.
در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با 0 ψ نمایش می‌دهند و میخوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف میخوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می‌‌باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.
مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، میگوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل میشود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل میشود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.
به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.
اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات میگوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر میگیریم و میگوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگتر است.
این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته میشود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی میگوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگتر است.
یکی از مهمترین مباحثی که بینهایت درآن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت میشود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ارسالها: 489
#27
Posted: 23 Mar 2013 22:13
اثر پروانه‌ای
اثر پروانه‌ای نام پدیده‌ای است كه به دلیل حساسیت سیستمهای آشوبناك به شرایط اولیه ایجاد میشود. این پدیده به این اشاره می‌كند كه تغییری كوچك در یك سیستم آشوبناك چون جو سیاره زمین (مثلاً بال‌زدن پروانه) می‌تواند باعث تغییرات شدید (وقوع توفان در كشوری دیگر) در آینده شود.
ایده‌ٔ اینكه پروانه‌ای می‌تواند باعث تغییری آشوبی شود نخستین بار در ۱۹۵۲ در داستان كوتاهی به نام آوای تندر كار ری بردبری مطرح شد. عبارت «اثر پروانه ای» هم در ۱۹۶۱ در پی مقاله‌ای از ادوارد لورنتس به وجود آمد. وی در صد سی و نهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله‌ای با این عنوان ارائه داد كه «آیا بال‌زدن پروانه‌ای در برزیل می‌تواند باعث ایجاد تندباد در تگزاس شود؟»
لورنتس در پژوهش بر روی مدل ریاضی بسیار ساده‌ای از آب و هوای جو زمین، به معادله‌ی دیفرانسیل غیر قابل حل رسید. وی برای حل این معادله از روشهای عددی به كمك رایانه بهره جست. او برای اینكه بتواند این كار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتیجه آخرین خروجی یك روز را به عنوان شرایط اولیه روز بعد وارد می‌كرد. لورنتس در نهایت مشاهده كرد كه نتیجه شبیه‌سازی‌های مختلف با شرایط اولیه یكسان با هم كاملاً متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده كه رویال مك‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای كه لورنتس از آن استفاده می كرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد می‌كند. از آنجایی كه محاسبات داخل این رایانه با ۶ رقم اعشار صورت می گرفت، از بین رفتن دو رقم آخر باعث چنین تاثیری شده بود. مقدار تغییرات در عمل گرد‌كردن نزدیك به اثر بال‌زدن یك پروانه است. این واقعیت غیرممكن بودن پیش‌بینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می دهد.
مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عامیانه «اثر پروانه ای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرایط اولیه» ترجمه می شود.
به غیر از آب و هوا، در سیستمهای پویای دیگر نیز حساسیت به شرایط اولیه به چشم می خورد. یك مثال ساده، توپی است كه در قله كوهی قرار گرفته. این توپ با ضربه بسیار كمی، بسته به اینكه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، می تواند به هركدام از دره های اطراف سقوط كند.
تئوری
اغلب سیستم ها در دنیای واقعی طی تكرار یك عملیات مشخص كار می كنند. در مثال آب و هوای لورنتس فرایند گرم شدن سطح زمین از طرف خورشید و سرد شدن جو از طریق تابش به فضای بیرون، فرایندی است كه مدام تكرار می شود. می توان نشان داد كه در چنین سیستمی بازه ای از مقادیر اولیه باعث ایجاد رفتار آشوبناك می شود.
تعریف ریاضی
یك سیستم پویا بانقشه تكامل ft وابستگی حساس به شرایط اولیه دارد، اگر نقاط نزدیك به هم با افزایش t از هم جدا شوند. اگر M فضای حالت نقشه ft باشد، می گوییم ft به شرایط اولیه وابستگی حساس نشان می دهد وقتی كه حداقل یك δ>۰ وجود داشته باشد بطوری كه به ازای هر نقطه x∈M و هر همسایگی از N كه x را در بر داشته باشد، نقطه ای مانند y در همسایگی N موجود بوده و در زمانی مانند τ رابطه d ( f t(x) , f t(y) ) >d برقرار باشد.
در این تعریف نیازی نیست كه همه نقاط موجود در یك همسایگی، از نقطه مبنای x جدا باشند.
ادوارد نورتن لورنز هواشناس و ریاضیدان موسسه تکنولوژی ماساچوست و تئوریسن تئوریهای معروفی "بی نظمی" و "اثر پروانه ای" در سن 90 سالگی در کمبریج ماساچوست در گذشت. وی در 23 می 1917 متولد و در 16 آوریل 2008 دارفانی را وداع گفت.
این دانشمند در تئوری "اثر پروانه ای" گفته است: "ضربه های بالهای پروانه ای در برزیل می توانند در تکزاس توفان به پا کنند."
در این تئوری لورنز توضیح می دهد که تداوم تغییرات بی نهایت کوچکی که در اثر بال زدن پروانه ایجاد می شود نتایج ویرانگری تولید می کند.
این دانشمند جوایز معتبر بین المللی به خصوص "جایزه توکیو برای علوم کاربردی" را دریافت کرد. با وجود این از آنجا که در جوایز نوبل، جایزه ای با عنوان "جایزه نوبل هواشناسی" وجود ندارد، لورنز هرگز نتوانست نام خود را در بین دارندگان این جایزه به ثبت برساند.
لورنز در سال 1979 در کنفرانس سالانه "انجمن آمریکایی پیشرفت علم" حاضر شد و به تشریح تئوری "اثر پروانه ای" (butterfly effect) پرداخت و به این ترتیب تئوری "بی نظمی" رسمیت گرفت.
این دانشمند نخستین بار تئوری بی نظمی را در سال 1961 در موسسه تکنولوژی ماساچوست (ام آی تی) مطرح کرد. سپس در سال 1963 این تئوری را کاربردی و در سال 1979 فرمول آن را ارائه کرد.
این تئوری در خصوص پدیده هایی چون تغییرات آب و هوایی غیرمنتظره و حوادث و فرایندهایی که نمی توانند با استفاده از برهانها و قوانین ریاضی رایج، مثل تئوری احتمالات مدل سازی و پیش بینی شوند، توضیح می دهد.
در سال 1960 لورنز یک مدل اسباب بازی از هواشناسی ایجاد کرد.
رایانه این دانشمند در آن زمان نه سرعت کافی برای پردازش یک شبیه سازی ساخته شده از رفتار اتمسفر داشت و نه از حافظه کافی برای ذخیره این اطلاعات برخوردار بود. باوجود این، لورنز توانست مدلهایی از تئوری بی نظمی را با استفاده از این رایانه و با کمک دیگر هواشناسان "ام آی تی" نشان دهد.
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ارسالها: 489
#28
Posted: 14 Apr 2013 01:47
چندکلامی درباره روشهای عمومی اثبات ترجمه آزاد مقاله Remarks About Methods of Proof
قصد ما مطرح کردن چند روش ساده و عمومی اثبات است که ممکن است شما بارها از هر کدام استفاده کرده باشید. برای راحتی کار در مثال ها دو تعریف زیر را می آوریم.
تعریف 1: عدد n را زوج گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k که k عددی صحیح است، نوشت.
تعریف 2: عدد n را فرد گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k+1 که k عددی صحیح است، نوشت.
1. اثبات مستقیم (DIRECT PROOF) :
با فرض های قضیه آغاز می شود و با استنتاج، از آن نتایجی حاصل می شود، بیرون آوردن نتیاج ادامه می یابد تا اینکه به حکم مطلوب برسیم.
قضیه1: اگر n زوج باشد آگاه n۲ زوج است.
اثبات: n زوج است (فرض) بنابراین عدد صحیحی چون k وجود دارد که n=۲k. بنابراین:
n۲ = (۲k)۲ = ۲ (۲k۲)( ان به توان دو)
و می دانیم 2k۲ نیز عددی صحیح است بنابراین طبق تعریف1 n۲ عددی زوج است.
اثبات عکس ِ نقیض قضیه به جای خود قضیه. (PROVING THE CONTRAPOSITIVE
در این روش اثبات، ما می خواهیم نشان دهیم که « اگر "A" آنگاه "B" ». به جای آن ما یک قانون معادل آن را نشان می دهیم: « اگر "B نقض شود" ( Not B)، آنگاه "A نقض میشود" (Not A) ».
قضیه 2: اگر n۲ زوج باشد، آنگاه n زوج است.
اثبات: در این مورد "n۲ زوج است" 'گزاره A و "n زوج است" گزاره B می باشد. نشان می دهیم اگر n فرد باشد (نقیض B) آنگاه n۲ فرد است (نقیض A). به این ترتیب که: می دانیم که عدد صحیحی چون K هست که n=۲k+1. بنابراین:
n۲ = (۲k+۱)۲ = ۴k۲+۲k+۱ = ۲(۲k۲+k)+۱.
چون k صحیح است پس 2k۲+k نیز صحیح است. پس ما نشان دادیم که n۲ فرد است.
3. اثبات با تناقض (برهان خلف) (PROOF BY CONTRADICTION):
در این روش از برهان، می خواهیم نشان دهیم که " اگر A آنگاه B ". برای این کار فرض میکنیم خلاف این حکم درست باشد (فرض خلف). یعنی فرض می کنیم که " گزاره A درست و گزاره B غلط است." . حالا باید به دنبال یک تناقض بگردیم. این تناقض ممکن است، با فرض قضیه و یا یک حکم بدیهی که از درستی آن مطلع هستیم ولی در فرض مسئله نیست، ایجاد شود. مثلا به این حکم برسیم که 3 کوچکتر از 0 است (تناقض با یک دانسته بدیهی). خوب! به محض اینکه به یک تناقض رسیدیم، نتیجه می گیریم که چیزی که فرض کردیم (فرض خلف) غلط بوده، پس قضیه درسته.
قضیه 3: n و m را اعدا صحیح در نظر میگیریم. اگر n.m زوج باشد، حداقل یکی از اعداد n یا m ، زوج است.
اثبات: فرض میکنیم که "n.m زوج است (A) ولی نه m و نه n هیچکدام زوج نیستند (Not B)" (فرض خلف). بنابرای ما می توانیم بنویسیم:
عددیهای صحیح k و c وجود دارن که : n=۲k+۱ و m=۲c+۱ . در نتیجه:
n.m = (۲k+۱)(۲c+۱) = ۴ k.c + ۲k + ۲c +۱ = ۲(۲k.c + k + c) +۱
که نشان می دهد
n.m فرد است. از آنجایی که این یک تناقض (با فرض) است، نتیجه میگیریم که قضیه درست است.
نکته: این یه نکته کوچولو رو داشته باشید که درستی این روش بر اساس قانون ِ"طرد ِشِق ِوسط " است. این قانون میگه که یک گزاره یا درسته و یا غلط و حالت بینابین یا حالت سومی نداره. این روش اثبات تنها در منطق دو ارزشی پذیرفتنی است. (نگران نباشید. این یعنی تقریبا همه جای ریاضی ای که ما می خوانیم به جز جایی که دقیقا در زمینه منطق های چند ارزشی صحبت میشه.) در این روش میگیم: چون فرض غلط بودن حکم به تناقض می رسه، پس غلط نیست، پس درسته. چون نمیتونه نه درست باشه نه غلط.
4. اثبات با استقراء (PROOF BY INDUCTION) :
در مواردی می خواهیم نشان دهیم که گزاره S(n) برای تمام اعداد صحیح بزرگتر از عدد صحیحی چون n0 درست است. برای این منظور باید دو مرحله را انجام دهیم:
الف) مورد پایه: باید نسان دهیم که S(n0) ، (یعنی گزاره S(n) در مورد n0 ) درست است.
ب) فرض استقرائی: فرض میکنیم که S(n) برای یکn > n0 درست باشد و نشان میدهیم که S(n+۱) نیز درست است.
قضیه 4: برای هر n>=0 و x <> 1 داریم: (علامت <> یعنی مخالف)
۱+ x + x۲ + ... + xn = (xn+1 – ۱)/(x-۱)
اثبات: ابتدا نشان میدهیم که برای مورد پایه درست است. برای n=0 ، S(0) میرساند که
۱= (x0+۱ -۱ )/(x -۱) که این به روشنی درست است.
حالا فرض استقراء را دانبال می کنیم: فرض میکنیم که
۱+ x + x۲ + ... + xn = (xn+1 – ۱)/(x-۱)
باید نشان دهیم که:
۱+ x + x۲ + ... + xn + xn+1 = (xn+۲ – ۱)/(x-۱)
داریم:
۱+ x + x۲ + ... + xn + xn+1 = (xn+1 – ۱)/(x-۱) + xn+1
= ( xn+1 – ۱ + (x-۱).(xn+1) ) / (x-۱)
= ( xn+1 – ۱ + xn+۲ – xn+1 ) / (x-۱)
= ( xn+۲ – ۱ ) / (x-۱) .:.
که در اولین تساوی از فرض استقرائی استفاده کردیم و بقیه تساویها، اعمال ساده جبری اند. به این ترتیب قضیه ثابت شد.
نکته: معمولا نشان دادن اینکه حکم برای مورد پایه درست است بسیار بدیهی و ساده است. اما با این وجود این مرحله بسیار مهم است و عدم در نظر گرفتن آن ممکن است به نتایج غلطی منجر شود. برای اینکه مطلبمون زیاد طولانی نشه، روش پنجم اثبات رو هم میگم و مثال هایی در مورد اهمیت مورد پایه در روش استقرا و بعد دو روش غلط اثبات رو برای پست بعدی می گذاریم.
5. رد کردن یک حکم با مثال نقض (DISPROOF BY COUNTEREXAMPLE):
گاهی لازم است نشان دهیم که یک حکم غلط است. برای نشان دادن اینکه یک "حکم" غلط است، یکی از ملزومات آوردن یک مثال نقض است. مثال زیر را ملاحظه فرمائید:
قضیه 5 (اشتباه): به ازای هر n صحیح، 3n زوج است.
اثبات اشتباه بودن: یک مثال نقض مورد n=۷ است. زیرا 21=7×3 زوج نسیت.
توجه کنید که در بعضی موارد یک حکم ممکن است برای بسیار و یا حتی بینهایت مورد درست باشد و حتی در بعضی موارد آوردن مثال نقض بسیار سخت است. مثلا در مورد حدس گلدباخ با آنکه اثبات کاملی برای آن ارائه نشده (نکنه شده من نمی دونم) اما تا به حال مثال نقضی هم برای آن پیدا نشده است.حدس گلدباخ: هر عدد صحیح زوج بزرگتر از 2، مجموع دو عدد اول است.راستی می پرسید پس یک کلمه ریاضی چی شد؟
خواستم پست طولانی نشه. یه جای خوب براس پیدا می کنم.شما کلمه های توی اسم روش ها رو بخونید فعلا. مثلا : CONTRADICTION یعنی تناقض.
قضیه۶ (اشتباه): به ازای هر عدد صحیح n>=0 ، داریم: n=n+۵. (!!)
اثبات: "اثبات به استقرا": بیاید مرحله ۱ رو در نظر نگیریم. مرحله ۲:
فرض می کنیم که حکم برای یک n ی درست باشد. یعنی n=n+۵.(فرض استقرائی) ما باید نشان دهیم که برای n+۱ نیز درست است. یعنی n+۱) = (n+۱) + ۵). نشان دادن این بسیار ساده است. کافیست به دو طرف تساوی فرض استقرا عدد ۱ را اضافه کنیم.
مشکل برهان ارائه شده اینه که ما درست بودن حکم رو برای مورد پایه (در اینجا صفر) چک نکردیم که در این مورد مسلما درست نیست.
قضیه ۷ (اشتباه): در هر مجموعه n تایی از دانش آموزان، همه دانش آموزان هم قد هستند.(!!)
اثبات: "اثبات با استقراء بر روی تعداد دانش آموزان":
این بار ما با مورد پایه شروع می کنیم: در هر مجموعه ۱ عضوی، حکم (اینکه همه دانش آموزان مجموعه هم قد هستند) به وضوح درست است، چون فقط یک نفر در مجموعه هست.
بنابراین اجازه بدهید که به مرحله ۲ برویم: فرض میکنیم که حکم برای مجموعه k عضوی درست باشد. (فرض استقرائی). حالا مجموعه S رو با k+۱ عضو در نظر بگیرید. بنابراین می تونیم بنویسیم:
{ S = S' U { pk+۱ که در آن { S' = { p۱ , ... , pk مجموعه ایست با k عضو و pi یعنی : "دانش آموز شماره i". بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان مجموعه 'S هم قد هستند (چون k عضو دارد). یعنی p1 با p2 هم قد است. اما از طرفی می توانیم بنویسیم: ''S = { p1} U S که در آن {S'' = { p۲ , ... , pk+۱ مجموعه ای k عضوی است. و باز بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان "S نیز هم قد هستند و در نتیجه: pk+۱ با p۲ هم قد است که خود p۲ با p۱ هم قد است. بنابراین pk+۱ و p۱ نیز با یکدیگر هم قد هستند. بنابراین همه k+۱ دانش آموز مجموعه S هم قدند و حکم به استقراء ثابت شد.
شما بگین توی این برهان چه چیزی اشتباهه؟
فکر کنم اهمیت مورد پایه در عین ساده بودن روشن شد. در انتها دو اشتباه در آوردن برهان ( که البته بیشتر در مورد مبتدیان اتفاق می افته) رو ذکر کنیم که کار ناقص نباشه. البته مورد دوم رو بیشتر ما در قضاوت های روزمره مون استفاده مینکیم که البته مسائل ریاضی نیستند.:
1. اثبات با مثال: اما اینکه یه حکم برای تعدادی مثال درست باشه لزومی بر درست بودنش نیست. همونطور که قبلا اشاره کردیم ممکنه یک حکم برای بینهایت مورد درست باشه ولی در حالت کلی درست نباشه. مثلا اینکه همه اعداد اول فردند. این حکم برای بینهایت عدد اول درسته و تنها برای ۲ درست نیست. ولی با این حال به شکل گفته شد یک حکم کلی نیست.
2. اثبات بر این اساس که مثال نقض وجود ندارد: اینکه برای یک حکم مثال نقضی "پیدا نکنیم" دلیل بر درستی حکم نمیشه. شاید واقعا وجود داره اما در دسترس ما نیست. همچنان با عدم یافتن مثالی نقضی برای حدس باخ، تبدیل به قضیه شدنش به یافتن اثباتی برای آن موکول شده.
البته اگر بتوانیم ثابت کنیم که هیچ مثال نقضی برای حکم "وجود نداره" یعنی حکم درسته. (که همون برهان خلفه).
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ویرایش شده توسط: behnaz1989
ارسالها: 489
#29
Posted: 14 Apr 2013 13:38
شش عدد حاکم بر جهان
این متن خلاصه مقاله پروفسور سرمارتین ریس، یكی از پیشگامان كیهان شناسی در جهان است. وی استاد تحقیقات انجمن سلطنتی در دانشگاه كمبریج و دارای عنوان اخترشناس سلطنتی است. در عین حال وی عضو انجمن سلطنتی، آكادمی ملی علوم ایالات متحده و آكادمی علوم روسیه است. وی ضمن مشاركت با چندین همكار بین المللی ایده های بسیار مهمی در مورد سیاهچاله ها، تشكیل كهكشان ها و اخترفیزیك انرژی بالا داشته است.
شش عدد بر كل جهان حاكم است
كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از این اعداد با مقدار فعلی آن كمی فرق داشت، هیچ ستاره، سیاره یا انسانی در جهان وجود نداشت. قوانین ریاضی عامل تحكیم ساختار جهان است.
این قاعده فقط شامل اتم ها نمی شود، بلكه كهكشان ها، ستاره ها و انسان ها را نیز در برمی گیرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفی كه از آنها وجود دارد و نیروهایی كه آنها را به یكدیگر متصل می كند ـ عامل تعیین كننده ماهیت شیمیایی جهانی است كه در آن به سر می بریم. تعداد بسیار اتم ها به نیروها و ذرات داخل آنها بستگی دارد. اجرامی را كه اخترشناسان مورد بررسی قرار می دهند ـ سیارات، ستارگان و كهكشان ها ـ توسط نیروی گرانش كنترل می شوند و همه این موارد در جهان در حال گسترشی روی می دهد كه خواصش در لحظه انفجار بزرگ اولیه(Bigbang) در آن تثبیت شده است.
علم با تشخیص نظم و الگوهای موجود در طبیعت پیشرفت می كند، بنابراین پدیده های هر چه بیشتری را می توان در دسته ها و قوانین عام گنجاند. نظریه پردازان در تلاشند اساس قوانین فیزیكی را در مجموعه های منظمی از روابط و چند عدد خلاصه كنند. هنوز هم تا پایان كار راه زیادی باقیمانده است، اما پیشرفت های به دست آمده نیز چشمگیرند. در آغاز قرن بیست و یكم، شش عدد معرفی شدند كه به نظر می رسد از اهمیت فوق العاده ای برخوردارند.
دو تا از این اعداد به نیروهای اساسی مربوط می شوند؛ دو تای دیگر اندازه و «ساختار» نهایی جهان ما را تثبیت می كند و بیانگر آن هستند كه آیا جهان برای همیشه امتداد می یابد یا خیر؛ و دو عدد باقیمانده بیانگر خواص خود فضا هستند. این شش عدد با یكدیگر« نسخه»ای را برای جهان تشكیل می دهند. گذشته از این جهان نسبت به مقدار این شش عدد بسیار حساس است: اگر یكی از این اعداد تنظیم نشده باشد، آن وقت نه ستاره ای در جهان وجود می داشت و نه حیاتی.
سه تا از این اعداد (كه به جهان در مقیاس بزرگ وابسته است) به تازگی با دقت زیاد اندازه گیری شده است. سر برآوردن حیات انسان در سیاره زمین حدود ۵/۴ ۵.۶ میلیارد سال به درازا كشیده است. حتی پیش از آنكه خورشید ما و سیارات گرداگرد آن تشكیل شوند، ستاره های قدیمی تر، هیدروژن را به كربن، اكسیژن و دیگر اتم های جدول تناوبی تبدیل می كردند. این فرآیند حدود ده میلیارد سال به درازا كشیده است. اندازه جهان قابل مشاهده تقریباً برابر فاصله ای است كه نور بعد از انفجار بزرگ پیموده است بنابراین این جهان قابل مشاهده كنونی باید بیش از ۱۰ میلیارد سال نوری وسعت داشته باشد.(X=Ct ,t=۱*۳۶۰۰*۲۴*۳۶۵,C=۳*۱۰^۸) بسیاری از مناقاشات پردامنه و طولانی مباحث كیهان شناختی امروزه دیگر پایان یافته، و در مورد بسیاری از مواردی كه پیش از این موضوع بحث بودند، دیگر مناظره ای صورت نمی گیرد.
اینشتین در یكی از مشهورترین كلمات قصار خود می گوید: «غیرقابل درك ترین چیز در مورد جهان، قابل درك بودن آن است.» وی در این عبارت بر شگفتی خود در مورد قوانین فیزیك كه ذهن ما نسبتاً با آنها خو گرفته و تا حدودی با آنها آشناست تاكید می كند، قوانینی كه نه فقط در روی زمین بلكه در دوردست ترین كهكشان ها هم مصداق دارد. نیوتن به ما آموخت همان نیرویی كه سیب را به سمت زمین می كشد، ماه و سیارات را در مدار خود به گردش در می آورد. هم اكنون می دانیم همین نیروست كه عامل تشكیل كهكشان ها است و همین نیروست كه باعث می شود ستاره ها به سیاهچاله تبدیل شوند.
قوانین فیزیكی و هندسه ممكن است در جهان های دیگر متفاوت باشد. چیزی كه جهان ما را از سایر جهان ها متمایز می كند ممكن است همین شش عدد باشد.
۱) عدد كیهانی امگا نشان دهنده مقدار ماده ـ كهكشان ها، گازهای پراكنده و «ماده تاریك» ـ در جهان ماست. امگا اهمیت نسبی گرانش و انرژی انبساط در جهان را به ما ارائه می دهد جهانی كه امگای آن بسیار بزرگ است، بایستی مدت ها پیش از این درهم فرورفته باشد، و در جهانی كه امگای آن بسیار كوچك است، هیچ كهكشانی تشكیل نمی شود. تئوری تورم انفجار بزرگ می گوید، امگا باید یك باشد؛ هر چند اخترشناسان درصددند مقدار دقیق آن را اندازه بگیرند.
۲) اپسیلون بیانگر آن است كه هسته های اتمی با چه شدتی به یكدیگر متصل شده اند و چگونه تمامی اتم های موجود در زمین شكل گرفته اند. مقدار اپسیلون انرژی ساطع شده از خورشید را كنترل می كند و از آن حساس تر اینكه، چگونه ستارگان، هیدروژن را به تمامی اتم های جدول تناوبی تبدیل می كنند، به دلیل فرآیندهایی كه در ستارگان روی می دهد، كربن و اكسیژن عناصر مهمی محسوب می شوند ولی طلا و اورانیوم كمیاب هستند. اگر مقدار اپسیلون ۰۰۶/ یا ۰۰۸/ بود ما وجود نداشتیم. عدد كیهانی e تولید عناصری را كه باعث ایجاد حیات می شوند ـ كربن، اكسیژن، آهن و... یا سایر انواع كه باعث ایجاد جهانی عقیم می شود را كنترل می كند.
۳) اولین عدد مهم تعداد ابعاد فضا است. ما در جهانی سه بعدی زندگی می كنیم. اگر D برابر دو یا چهار بود امكان تشكیل حیات وجود نداشت. البته زمان را می توان بعد چهارم فرض كرد، اما باید در نظر داشت بعد چهارم از لحاظ ماهیت با سایر ابعاد تفاوت اساسی دارد چرا كه این بعد همانند تیری رو به جلو است، ما فقط می توانیم به سوی آینده حركت كنیم.
۴) چرا جهان پیرامون این چنین وسیع است كه در طبیعت عدد مهم و بسیار بزرگی وجود دارد. N نشان دهنده نسبت میان نیروی الكتریكی است كه اتم ها را كنار یكدیگر نگاه می دارد و نیروی گرانشی میان آنهاست. اگر این عدد فقط چند صفر كمتر می داشت، فقط جهان های مینیاتوری كوچك و با طول عمر كم می توانست به وجود آید. هیچ موجود بزرگ تر از حشره نمی توانست به وجود آید و زمان كافی برای آنكه حیات هوشمند به تكامل برسد در اختیار نبود.
۵) هسته اولیه تمام ساختارهای كیهانی ـ ستاره ها، كهكشان ها و خوشه های كهكشانی ـ در انفجار بزرگ اولیه تثبیت شده است. ساختار یا ماهیت جهان به عدد Q كه نسبت دو انرژی بنیادین است، بستگی دارد. اگر Q كمی كوچك تر از این عدد بود جهان بدون ساختار بود و اگر Q كمی بزرگ تر بود، جهان جایی بسیار عجیب و غریب به نظر می رسید، چرا كه تحت سیطره سیاهچاله ها قرار داشت.
۶) اندازه گیری عدد لاندا در بین این شش عدد، مهم ترین خبر علمی سال ۱۹۹۸ بود، اگرچه مقدار دقیق آن هنوز هم در پرده ابهام قرار دارد. یك نیروی جدید نامشخص ـ نیروی «ضدگرانش» كیهانی ـ میزان انبساط جهان را كنترل می كند. خوشبختانه عدد لاندا بسیار كوچك است. در غیر این صورت در اثر این نیرو از تشكیل ستارگان و كهكشان ها ممانعت به عمل می آمد و تكامل كیهانی حتی پیش از آنكه بتواند آغاز شود، سركوب می شد.
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
ارسالها: 489
#30
Posted: 6 May 2013 00:11
این نرم افزارم واسه اون دسته آدمایی که مجبورن به نحوی با معادلات سخت ریاضی سرو کله بزنن! این نرم افزار میتونه سختترین معادلات رو به آسانی واستون حل بکنه!
نرم افزار Maple بهترین نرم افزار ریاضیاته. این نرم افزار توانایی حل معادلات ریاضی، رسم انواع نمودار و گراف، محاسبات جبری و منطقی، محاسبات هندسی، حل توابع پیچیده، و ... رو داره!(البته نرافزارای دیگه ای مثل مطلب و .. اومدن ولی کار کردن با این نرم افزار راحته)اگه سوالی هم راجبنحوه کار یا عملکردش داشتید بپرسید
لینک دانلود
تمام مشكل دنیا این است كه :
احمق های متعصب كاملا از حرفشان مطمئن هستند ،
اما آدمهای عاقل همیشه شك دارند...
" برتراند راسل "
صفحه 3 از 5